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Wolfgang Rautenberg

Einführung in die Mathematische Logik und Mengenlehre SS 2002 - Übungsblatt 3 - Abgabe 10 Tage nach Ausgabe

1. Man verifiziere die Korrektheit der folgenden Kontrapositionsregeln:

\frac{X, α ⊨ β}{X, ¬β ⊨ ¬α} ; \frac{X, ¬β ⊨ ¬α}{X, α ⊨ β}.

2. Man beweise aus den in der Vorlesung angegebenen Basis-Regeln das (syntaktische) Deduktionstheorem

\frac{X, α ⊢ β}{X ⊢ α^{→}β} .

3. Man beweise mittels des Deduktionstheorems

(α^{→}β)^{→}(β ^{→}γ)^{→}(α^{→}γ).

4. Man erweitere die logische Signatur {¬, ∧} um ∨ und beweise die Vollständigkeit des Kalküls, der den in der Vorlesung angegebenen Kalkül in ¬, ∧ um die folgenden beiden Basis-Regeln ergänzt:

\frac{X ⊢ α}{X ⊢ α ∨ β, β ∨ α} ; \frac{X, α ⊢ γ X, β ⊢ γ}{X, α ∨ β ⊢ γ} .

Hinweis. Lemma 4.4 muß wie folgt ergänzt werden: Eine maximal konsistente Menge hat nebst den Eigenschaften ( ∧) und (¬) auch die Eigenschaft

X ⊢ α ∨ β ⇔ X ⊢ α oder X ⊢ β.