Une remarque sur la propriété de Dunford-Pettis

par Dirk WERNER

Dans [5] (voir aussi [3, p. 148]) nous avons démontré que l’espace S de Schreier est un M-idéal de son bidual, c’est-à-dire dans la décomposition canonique du troisième dual de S en une somme de S^{∗} et de l’orthogonal S^{⊥} de S la norme est additive:

S^{∗∗∗} = S^{∗} ⊕_{1} S^{⊥}.

Les auteurs de [1] ont étendu cet énoncé à certains espaces de Banach S_{F} reliés à S. De plus, ils ont montré pour un espace S_{F} qui est un M-idéal que tout sous-espace de S_{F} a la propriété de Dunford-Pettis dès que l’espace S_{F} l’ait. Le but de cet exposé est de démontrer un résultat plus fort par une méthode un peu plus simple.

Commençons par quelques rappels. D’après Grothendieck [2] on dit qu’un espace de Banach X jouit de la propriété de Dunford-Pettis si l’on a x_{n}^{∗}(x_{n}) → 0 pour toutes les suites (x_{n}) ⊂ X, (x_{n}^{∗}) ⊂ X^{∗} convergentes vers zéro faiblement. Quand tous les sous-espaces de X ont la propriété de Dunford-Pettis, on dit que X a la propriété de Dunford-Pettis héréditaire. Grothendieck a montré que les espaces C(K) ont la propriété de Dunford-Pettis et que c_{0} a même la propriété de Dunford-Pettis héréditaire.

Les espaces S_{F} que nous allons considérer ici sont définis comme suit. Soit F une famille ^{≪}adéquate^{≫} (dans la terminologie de [1]) d’ensembles de ℕ; ceci signifie que (a) si G ⊂ F ∈ F, alors G ∈ F,

(b) {n} ∈ F pour tout n ∈ ℕ,

(c) si Z ⊂ ℕ est infini, il existe un sous-ensemble fini B ⊂ Z tel que B ∉ F. Soit S_{F} la complétion de l’espace de suites à support fini pour la norme

∥(ξ_{n})∥_{F} = sup{ ∑_{n∈F} |ξ_{n}|: F ∈ F}.

Pour un ensemble A ⊂ ℕ infini on pose S_{F}(A) = {(ξ_{n}) ∈ S_{F}: ξ_{n} = 0 ∀n ∉ A}.

En prenant F la classe d’ensembles ^{≪}admissibles^{≫} (c’est-à-dire card F ≤ min F) on obtient l’espace de Schreier S (néo-)classique. Dans [1] se trouvent beaucoup d’exemples d’espaces S_{F} qui sont des M-idéaux.

On va montrer le théorème suivant.

Théorème. Soit F une famille adéquate telle que S_{F} soit un M-idéal. Alors les énoncés suivants sont équivalents:

(i) S_{F} a la propriété de Dunford-Pettis.

(ii) S_{F} a la propriété de Dunford-Pettis héréditaire.

(iii) Pour tout n ∈ ℕ il y a seulement un nombre fini de F ∈ F contenant n. (iv) Il n’y a pas de sous-suites de la base duale canonique (e_{n}^{∗}) de S_{F}^{∗} convergente

vers zéro faiblement.

(v) S_{F} se plonge isométriquement dans c_{0} en cas réel et presque isométriquement dans c_{0} en cas complexe.

(vi) S_{F} se plonge isomorphiquement dans c_{0}.

Démonstration. (vi) ⇒ (ii): C’est un théorème de Grothendieck [2, p. 171]. Voici sa preuve jolie et simple: Soit E ⊂ c_{0} un sous-espace fermé, et soient (x_{n}) ⊂ E et (x_{n}^{∗}) ⊂ E^{∗} des suites telles que x_{n} → 0 et x_{n}^{∗} → 0 faiblement. On peut supposer (x_{n}) normalisée; dans ce cas il est facil de produire une sous-suite (x_{n_{k}}) qui est équivalente à la base canonique de c_{0}. Soit F = \overline{lin}\{x_{n_{k}}: k ∈ ℕ\} et y_{k}^{∗} = x_{n_{k}}^{∗}|_{F}; alors y_{k}^{∗} → 0 faiblement et, car F^{∗} est isomorphe à ℓ^{1} et par conséquent possède la propriété de Schur, ∥y_{k}^{∗}∥ → 0. On en déduit que x_{n_{k}}^{∗}(x_{n_{k}}) → 0. Comme le même argument s’applique aux sous-suites de (x_{n}), ceci montre aussi que x_{n}^{∗}(x_{n}) → 0.

(ii) ⇒ (i): C’est trivial.

(i) ⇒ (iv): Sinon, l’opérateur d’inclusion S_{F}(A) ↪ c_{0}(A) serait faiblement compact pour un ensemble infini A ⊂ ℕ. Maintenant on rapelle qu’un opérateur faiblement compact sur un espace ayant la propriété de Dunford-Pettis transforme des suites faiblement convergentes en des suites fortement convergentes. Bien sûr, S_{F}(A), étant un sous-espace complémenté de S_{F}, jouit de la propriété de Dunford-Pettis. Par conséquent, on aurait ∥e_{n}∥_{∞} → 0 (n → ∞, n ∈ A) ici, qui est absurde.

(iv) ⇒ (iii): Nous suivons la démonstration donnée dans [1]. Si (iii) était faux pour un n, il y aurait un ensemble infini A tel que {n, m} ∈ F pour tout m ∈ A. En appliquant (iv) on obtient B ⊂ A infini, δ > 0 et x^{∗∗} = (ξ_{k}) ∈ S_{F}^{∗∗} avec ∥x^{∗∗}∥_{F} ≤ 1 et |ξ_{m}| ≥ 2δ pour tout m ∈ B. Alors

∥x^{∗∗} ± e_{n} − y∥_{F} ≥ sup_{m∈B}(|ξ_{n} ± 1 − η_{n}| + |ξ_{m} + η_{m}|)
≥ 1 + δ  ∀y = (η_{k}) ∈ S_{F}, ∥y∥_{F} ≤ 1

ce qui contredit la propriété d’intersection des boules qui caracterise les M-idéaux ([3, Th. I.2.2], [5]).

(iii) ⇒ (v): On dénote ℓ^{1}(N) l’espace ℓ^{1} à dimension N et on considère l’application

T: S_{F} → ( ⨁_{F ∈F}ℓ^{1}(card F))_{ℓ^{∞}}, (ξ_{n}) ↦ ((ξ_{n})_{n∈F})_{F ∈F}.

Par la définition de la norme ∥ . ∥_{F} c’est une isométrie. La condition (iii) entraîne que T e_{k} ∈ (⨁_{F ∈F}ℓ^{1}(card F))_{c_{0}}; donc on a isométriquement

S_{F} ≅ T (S_{F}) ⊂ ( ⨁_{F ∈F}ℓ^{1}(card F))_{c_{0}} ⊂ (⨁ ℓ^{1}(n))_{c_{0}}.

Mais ℓ^{1}(n) est isométrique à un sous-espace de c_{0} dans le cas réel; dans le cas complexe ℓ^{1}(n) est presque isométrique à un sous-espace de c_{0} (c’est à dire qu’il y a, pour tout ε > 0, un sous-espace E_{ε} de c_{0} satisfaisant d(ℓ^{1}(n), E_{ε}) ≤ 1 + ε, où d dénote la distance Banach-Mazur). Ceci montre que S_{F} se plonge (presque) isométriquement dans c_{0}.

(v) ⇒ (vi): De nouveau, c’est trivial.

Les équivalences (i) ⇔ (ii) ⇔ (iii) ⇔ (iv) sont contenues dans [1]; la nouvelle contribution ici est l’observation que (iii) implique aisément (v). Remarquons que l’hypothèse ^{≪}S_{F} est un M-idéal^{≫} n’est utilisée que dans l’implication (iv) ⇒ (iii).

En cas complexe on ne peut pas toujours avoir un plongement isométrique. À titre d’exemple soit F = {{1, 2}}∪{{n}: n ∈ ℕ}. Alors S_{F} ≅ ℓ^{1}(2)⊕_{∞} c_{0}, et l’espace complexe ℓ^{1}(2) n’est pas isométrique à un sous-espace de l’espace complexe c_{0}.

J’ignore si les équivalences (i) ⇔ (ii) ⇔ (vi) (ou au moins une d’elles) restent valables pour un espace M-idéal de son bidual général. Signalons qu’un tel espace X est un Asplund, donc la propriété de Dunford-Pettis de X équivaut à la propriété de Schur de X^{∗}. Notons aussi qu’il y a des renormages de c_{0} qui sont des M-idéaux, mais qui ne se plongent pas presque isométriquement dans c_{0}; en effet, l’espace Λ(N) de Kalton ([4] ou [3, p. 322]) pour la norme N de ℝ^{2}, dont la boule unité est le convexe engendré par les points (0, ±1) et (±1, ±\frac{1}{2}), sert comme exemple.

Références bibliographiques

[1] J. M. F. Castillo, F. Sánchez et M. González. M-ideals of Schreier type and the Dunford-Pettis property. Dans: S. González, éditeur, Non-Associative Algebras and Its Applications, pages 80–85. Kluwer Academic Publishers, 1994.

[2] A. Grothendieck. Sur les applications linéaires faiblement compactes d’espaces du type C(K). Canadian J. Math. 5 (1953), 129–173.

[3] P. Harmand, D. Werner et W. Werner. M-Ideals in Banach Spaces and Banach Algebras. Lecture Notes in Math. 1547. Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1993.

[4] N. J. Kalton. M-ideals of compact operators. Illinois J. Math. 37 (1993), 147–169.

[5] D. Werner. New classes of Banach spaces which are M-ideals in their biduals. Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 111 (1992), 337–354.

I. Mathematisches Institut, Freie Universität Berlin, Arnimallee 2–6, D-14 195 Berlin, Allemagne; e-mail: werner@math.fu-berlin.de